Asymptotics of Rarefaction Wave Solution to the mKdV Equation - Minakov, A. (Журнал математичної фізики, аналізу, геометрії, 2011)
Розглядається модифіковане рівняння Кортевега-де Врізаq_t + 6q^2q_x + q_xxx=0на прямій. Початкові дані є чистою сходинкою, тобто q(x,0)=c_r для x≥ 0 та q(x,0)=c_l для x <0, де c_l>c_r>0 довільні дійсні числа. Ціль статті – вивчення асимптотичної поведінки розв’язку початково-крайової задачі, коли t→-∞, тобто вивченння динаміки за великим часом хвилі розрідження. Використовуючи метод найскорішого спуску та так званий механізм g-функції, ми деформуємо вихідну осциляційну матрицю задачі Рімана-Гільберта в таку модельну матрицю, для якої задача Рімана-Гільберта розв’язується явно, і показуємо, що розв’язок початково-крайової задачі має різну асимптотичну поведінку в різних областях xt-площини. В областях x<6c_l^2t і x>6c_r^2t головні члени асимптотики розв’язку дорівнюють c_l та c_r, відповідно. В області 6c_l^2t<x< 6c_r^2t асимптотика розв’язку прямує до x6t . Mathematics Subject Classification: 35Q15,35B40.