Step-Initial Function to the MKdV Equation: Hyper-Elliptic Long-Time Asymptotics of the Solution - Kotlyarov, V.; Minakov, A. (Журнал математичної фізики, аналізу, геометрії, 2012)
Розглянуто модифіковане рівняння КдФ на всій осі з початковими даними типу сходинки, тобто, q(x,0)=c_r при x0 і q(x,0)=c_l при x<0, де c_l, c_r – дійсні числа такі, що c_l>c_r>0. Ціль статті – дослідження асимптотичної поведінки розв’язку початково-крайової задачі, коли t→ ∞. Використовуючи метод найшвидшого спуску, ми деформуємо вихідну матричну задачу Рімана-Гільберта до точно розв’язних модельних задач і доводимо, що розв’язок початково-крайової задачі має різну асимптотичну поведінку у різних областях xt-площини. В областях x<-6c_l^2t+12c_r^2t і x>4c^2_lt+2c^2_rt головні члени асимптотики розв’язку дорівнюють c_l іc_r відповідно. В області (-6c_l^2+12c_r^2)t<x<(4c^2_l+2c^2_r)t tасимптотика розв’язку приймає вигляд модульованої гіпереліптичної хвилі, що генерується алгебраїчною кривою роду 2. Mathematics Subject Classification: 35Q15,35B40.