On High Moments and the Spectral Norm of Large Dilute Wigner Random Matrices - Khorunzhiy, O. (Журнал математичної фізики, аналізу, геометрії, 2014)
Розглянуто розріджену версію ансамблю Вігнера випадкових дійсних симетричних n× n-матриць H^(n,ρ), де ρ позначає середню кількість ненульових елементів у рядку. Вивчаються асимптотичні властивості спектральної норми \|H^(n,ρ_n)\|, коли n прямує до нескінченності і ρ_n=n^2/3(1+ε), ε>0. Основний результат полягає в тому, що ймовірність P{\|H^(n,ρ_n)\|>1+xn^-2/3}, x>0 обмежена для будь-якого ε(ε_0,1/2], ε_0>0 величиною, яка залежить від конкретних значень кількох перших моментів V_2l, 2≤ l≤ 6 і V_12+2φ_0, φ_0=φ(ε_0) елементів матриці H^(n,ρ) за умов, що вони існують і що розподіл матричних елементів є симетричним. Доведення базується на вивченні оцінок зверху середніх моментів випадкових матриць з обрізаними величинами E{Tr(H^(n,ρ_n))^2s_n}, s_n=χ n^2/3 floor з χ>0, коли n→∞. Розглянуто також оцінку знизу величин E{Tr(H^(n,ρ_n))^2s_n}. Показано, що у спеціальному асимптотичному режимі, коли ρ_n=n^ε при ε(0,2/3] та n→∞, четвертий момент V_4 має оцінку знизу, а змінна масштабування n^-2/3 на межі граничного спектру замінюється змінною, пов’язаною з ρ_n^-1. Mathematics Subject Classification: 15B52.