On High Moments and the Spectral Norm of Large Dilute Wigner Random Matrices - Khorunzhiy, O. (Журнал математичної фізики, аналізу, геометрії, 2014)
Розглянуто розріджену версію ансамблю Вігнера випадкових дійсних симетричних $n× n$-матриць $H^{(n,ρ)}$, де $ρ$ позначає середню кількість ненульових елементів у рядку. Вивчаються асимптотичні властивості спектральної норми $\|H^{(n,ρ_n)}\|$, коли $n$ прямує до нескінченності і $ρ_n=n^{2/3(1+ε)}$, $ε>0$. Основний результат полягає в тому, що ймовірність $P\{\|H^{(n,ρ_n)}\|>1+xn^{-2/3}\}$, $x>0$ обмежена для будь-якого $ε\in(ε_0,1/2]$, $ε_0>0$ величиною, яка залежить від конкретних значень кількох перших моментів $V_{2l}$, $2≤ l≤ 6$ і $V_{12+2φ_0}$, $φ_0=φ(ε_0)$ елементів матриці $H^{(n,ρ)}$ за умов, що вони існують і що розподіл матричних елементів є симетричним. Доведення базується на вивченні оцінок зверху середніх моментів випадкових матриць з обрізаними величинами $E\{Tr(\widehat H^{(n,ρ_n)})^{2s_n}\}$, $s_n=\lfloorχ n^{2/3}\rfloor$ з $χ>0$, коли $n→∞$. Розглянуто також оцінку знизу величин $E\{Tr(H^{(n,ρ_n)})^{2s_n}\}$. Показано, що у спеціальному асимптотичному режимі, коли $ρ_n=n^ε$ при $ε\in(0,2/3]$ та $n→∞$, четвертий момент $V_4$ має оцінку знизу, а змінна масштабування $n^{-2/3}$ на межі граничного спектру замінюється змінною, пов'язаною з $ρ_n^{-1}$. Mathematics Subject Classification: 15B52.