Eigenvalue Distribution of Bipartite Large Weighted Random Graphs. Resolvent Approach - Vengerovsky, V. (Журнал математичної фізики, аналізу, геометрії, 2016)
Досліджується розподіл власних значень матриці суміжності $A^{(N,p, \alpha)}$ взваженого випадкового дводольного графу $\Gamma= \Gamma_{N,p,\alpha}$. Припускається, що цей граф має $N$ вершин, співвідношення розміру його частин дорівнює $\displaystyle \frac{\alpha}{1-\alpha}$ та середній ступінь вершини дорівнює $\alpha\cdot p$ та $(1-\alpha)\cdot p$ для першої та другої компоненти. До кожного ребра графа $ e_ {ij} $ приписується в якості ваги випадкова величина $a_ {ij} $ зі скінченим другим моментом. Розглядаються резольвенти $G^{(N,p, \alpha)}(z)$ матриці $A^{(N,p, \alpha)}$, та вивчаються функції $f_{1,N}(u,z)=\frac{1}{[\alpha N]}\sum_{k=1}^{[\alpha N]}e^{-ua_k^2G_{kk}^{(N,p,\alpha)}(z)}$ та $f_{2,N}(u,z)=\frac{1}{N-[\alpha N]}\sum_{k=[\alpha N]+1}^Ne^{-ua_k^2G_{kk}^{(N,p,\alpha)}(z)}$ у границі $N\to\infty$. Виводиться система рівнянь, однозначно визначаюча граничні функції $f_{1}(u,z)$ та $f_{2}(u,z)$. З цієї системи випливає існування граничної міри $\sigma_{p, \alpha}$. Доводиться слабка збіжність за ймовірністю нормованих рахуючих мір. Mathematics Subject Classification: 15B52.