Implicit Linear Nonhomogeneous Difference Equation over $\mathbb{Z}$ with a Random Right-Hand Side - Gefter, S. L.; Piven', A. L. (Журнал математичної фізики, аналізу, геометрії, 2022)
Нехай $\{f_n\}_{n=0}^{∞}$ - послідовність незалежних цілозначних однаково розподілених випадкових величин, що визначені на ймовірнісному просторі $(Ω,{\cal F},P)$.Припускається, що ці величини мають невироджений розподіл. Нехай $a$ та $b$ - цілі числа, $b ot=0,± 1$ та $a$ не ділиться на $b$. Для кожного $ω\inΩ$ розглядається наступне неявне лінійне неоднорідне різницеве рівняння першого порядку: $bx_{n+1}+ax_{n}=f_n(ω)$, $\ n=0,1,2,…$. Доведено, щоймовірність існування розв'язку в цілих числах цього неявного різницевого рівняння дорівнює нулю. Отже, при випадковому виборі цілих чисел $f_0,f_1,f_2,…$ неявне різницеве рівняння $bx_{n+1}+ax_{n}=f_n$, $ n=0,1,2,…$, не має розв'язків в цілих числах. Також доведено, що якщо $a$ та $b$ - взаємно прості числа, томножина розв'язності цього рівняння є незліченою щільною множиною першої категорії у просторі всіх послідовностей цілих чисел. Mathematics Subject Classification: 39A06, 39A10, 39A50