Smoothing Estimates for Weakly Nonlinear Internal Waves in a Rotating Ocean
DOI:
https://doi.org/10.15407/mag20.04.01Анотація
Ми вивчаємо вплив обертання на згладжувальнi властивостi рiвнянь типу Кортевега-де-Фрiза на дiйснiй прямiй. Згладжування пов’язано з властивiстю, подiбною до розсiювання, щодо того, що нелiнiйна частина рiвняння є гладшою нiж початковi данi, i тому багато властивостей лiнiйної еволюцiї може бути перенесено на нелiнiйнi. Згладжування у випадку рiвняння Кортевега-де-Фрiза з перiодичними крайовими умовами є результатом присутностi хвиль високої частоти, якi послаблюють нелiнiйнiсть через усереднення за часом [1,12]. Критичним для цього явища є те, що нульовi частоти можуть бути видаленi за законом збереження середнього. На дiйснiй прямiй цей механiзм руйнується, коли резонанснi множини, близькi до нульових частот, є значними i перетворення нормальної форми не є корисними [21], отже, згладжування зникає. Модель, яку ми вивчаємо, є збуренням рiвняння Кортевега-де-Фрiза у системi вiдлiку, що обертається.
Mathematical Subject Classification 2020: 35Q53
Ключові слова:
рiвняння Кортевега-де-Фрiза, теорiя коректностi, згладжуванняПосилання
A. Babin, A.A. Ilyin, and E.S. Titi, On the regularization mechanism for the periodic Korteweg-de Vries equation, Comm. Pure Appl. Math. 64 (2011), No. 5, 591--648. https://doi.org/10.1002/cpa.20356
J. Bourgain, Fourier transform restriction phenomena for certain lattice subsets and applications to nonlinear evolution equations. Part II: The KdV equation, GAFA 3 (1993), 209--262. https://doi.org/10.1007/BF01895688
J. Bourgain, Global solutions of nonlinear Schrödinger equations, Amer. Math. Soc.: Colloquium Publications, 46, 1998. https://doi.org/10.1090/coll/046
J. Bourgain, On the growth in time of higher Sobolev norms of smooth solutions of Hamiltonian PDE, Int. Math. Res. Not. IMRN 1996 (1996), No. 6, 277--304.
J. Bourgain, Refinement of Strichartz' inequality and applications to 2D-NLS with critical nonlinearity, Int. Math. Res. Not. IMRN 1998 (1998), No. 5, 253--283. https://doi.org/10.1155/S1073792898000191
V. Chousionis, M.B. Erdoğan, and N. Tzirakis, Fractal solutions of linear and nonlinear dispersive partial differential equations, Proc. Lond. Math. Soc. (3) 110 (2015), No. 3, 543--564. https://doi.org/10.1112/plms/pdu061
S. Correia, F. Oliveira, and J.D. Silva, Sharp local well-posedness and nonlinear smoothing for dispersive equations through frequency-restricted estimates, SIAM J. Math. Anal. 56 (2024), No. 4, 5604--5633. https://doi.org/10.1137/23M156923X
S. Correia, and J.D. Silva, Nonlinear smoothing for dispersive PDE: A unified approach, J. Differential Equations, 269 (2020), No. 5, 4253--4285. https://doi.org/10.1016/j.jde.2020.03.038
J. Colliander, G. Staffilani, and H. Takaoka, Global wellposedness for KdV below $L^2$, Math. Res. Lett. 6 (1999), No. 5-6, 755--778. https://doi.org/10.4310/MRL.1999.v6.n6.a13
M.B. Erdoğan, T.B. Gürel, and N. Tzirakis, The derivative nonlinear Schrödinger equation on the half line, Ann. Inst. H. Poincaré (C) Analyse Non-Linéaire. 35 (2018), 1947--1973. https://doi.org/10.1016/j.anihpc.2018.03.006
M.B. Erdoğan, and G. Shakan, Fractal solutions of dispersive partial differential equations on the torus, Selecta Mathematica 25 (2019), No. 1, 1--26. https://doi.org/10.1007/s00029-019-0455-1
M.B. Erdoğan and N. Tzirakis, Global smoothing for the periodic KdV evolution, Int. Math. Res. Not. IMRN 2013 (2013), No. 20, 4589--4614. https://doi.org/10.1093/imrn/rns189
M.B. Erdoğan and N. Tzirakis, Smoothing and global attractors for the Zakharov system on the torus, Anal. PDE 6 (2013), 723--750. https://doi.org/10.2140/apde.2013.6.723
M.B. Erdoğan and N. Tzirakis, Talbot effect for the cubic non-linear Schrödinger equation on the torus, Math. Res. Lett. 20 (2013), 1081--1090. https://doi.org/10.4310/MRL.2013.v20.n6.a7
M.B. Erdoğan and N. Tzirakis, Long time dynamics for forced and weakly damped KdV on the torus, Commun. Pure Appl. Anal. 12 (2013), 2669--2684. https://doi.org/10.3934/cpaa.2013.12.2669
M.B. Erdoğan and N. Tzirakis, Dispersive Partial Differential Equations. Wellposedness and Applications, London Mathematical Society Student Texts, 86, Cambridge University Press, Cambridge, 2016.
R.H.J. Grimshaw and H. Mitsudera, Slowly varying solitary wave solutions of the perturbed Korteweg-de Vries equation revisited, Stud. Appl. Math. 90 (1993), 75--86. https://doi.org/10.1002/sapm199390175
R.H.J. Grimshaw, L.A. Ostrovsky, V.I. Shrira, and Yu.A. Stepanyants, Long nonlinear surface and internal gravity waves in a rotating ocean, Surv. Geophys. 19 (1998), 289--338. https://doi.org/10.1023/A:1006587919935
P. Isaza and J. Mejía, Global Cauchy problem for the Ostrovsky equation, Nonlinear Anal. 67 (2007), No. 5, 1482--1503. https://doi.org/10.1016/j.na.2006.07.031
P. Isaza and J. Mejía, Local well-posedness and quantitative ill-posedness for the Ostrovsky equation, Nonlinear Anal. 70 (2009), 2306--2316. https://doi.org/10.1016/j.na.2008.03.010
P. Isaza, J. Mejía, and N. Tzvetkov, A smoothing effect and polynomial growth of the Sobolev norms for the KP-II equation, J. Differential Equations 220 (2006), 1--17. https://doi.org/10.1016/j.jde.2004.10.002
Y.S. Li, J.H. Huang, and W. Yan, The Cauchy problem for the Ostrovsky equation with negative dispersion at the critical regularity, J. Differential Equations 259 (2015), 1379--1408. https://doi.org/10.1016/j.jde.2015.03.007
L.A. Ostrovsky, Nonlinear internal waves in a rotating ocean, Oceanology 18 (1978), 119--125.
Y.A. Stepanyants, Nonlinear Waves in a Rotating Ocean (The Ostrovsky equation and its generalizations and applications), Izvestiya, Atmosph. Oceanic Phys 56 (2020), 16--32. https://doi.org/10.1134/S0001433820010077
T. Tao, Nonlinear dispersive equations. Local and global analysis, CBMS Regional Conference Series in Mathematics 106, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2006. https://doi.org/10.1090/cbms/106
K. Tsugawa, Well-posedness and weak rotation limit for the Ostrovsky equation, J. Differential Equations 247 (2009), 3163--3180. https://doi.org/10.1016/j.jde.2009.09.009
W. Yan, Y. Li, J. Huang, and J. Duan, The Cauchy problem for the Ostrovsky with positive dispersion, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl. 25 (2018), No. 3, Paper No. 22, 37 pp. https://doi.org/10.1007/s00030-018-0514-x
