Exploring the Properties of f-Harmonic Vector Fields
Анотація
У цій статті ми ставимо за мету дослідити специфічні характеристики $f\text{-}$гармонічних векторних полів. По-перше, ми досліджуємо властивості $f\text{-}$гармонічного векторного поля Кіллінга, коли воно діє як $f\text{-}$гармонічне відображення між рімановим многовидом, позначеним як $(M, g)$, та його дотичним пучком $(T M, g_S)$, який має метрику Сасакі. Ми наголошуємо на тому, що $(M, g)$ має вигляд або айнштайнівського многовиду, або просторової форми. По-друге, ми досліджуємо властивості $f\text{-}$гармонічного векторного поля між рімановим многовидом $(M, g)$ та його дотичним пучком $T M$, який має або деформовану метрику Сасакі $g_{DS}$, або метрику Муса-Сасакі $g_{SF}$. Насамкінець ми завершуємо статтю розглядом прикладів $f\text{-}$гармонічних векторних полів у контексті групи Гайзенберґа.
Mathematical Subject Classification 2020: 53C05, 53C07, 58E20
Ключові слова:
$f$-гармонічне векторне поле Кілінґа, многовид Айнштайна, дотичний пучокПосилання
A.I. Besse, Einstein Manifold, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 1987.
J. Cheeger and D. Gromoll, On the structure of complete manifolds of nonnegative curvature, Ann. Math. 96 (1972), 413--443. https://doi.org/10.2307/1970819
N. Course, $f$-harmonic maps which map the boundary of the domain to one point in the target, New York J. Math. 13(2007), 423--435.
G. Courtois, Exemple de variété riemannienne et de spectre, Séminaire de Théorie spectrale et géométrie, 9 (1991), 65--75. https://doi.org/10.5802/tsg.116
N.E. Djaa and F. Latti, Geometry of generalized $F$-harmonic maps, Bull. Transilv. Univ. Braşov, Ser. III, 13 (2020), 101--114. https://doi.org/10.31926/but.mif.2020.13.62.1.9
N.E. Djaa and A.M. Cherif, General $f$-harmonic morphisms, Arab J. Math. Sci. 22 (2016), 275--284.
N.E. Djaa and A. Zagane, On the geodesics of deformed Sasaki metric, Turkish J. Math. 46 (6) (2022), 2121--2140. https://doi.org/10.55730/1300-0098.3258
P. Dombrowski, On the geometry of the tangent bundle, J. Reine Angew. Math. 210 (1962), 73--88. https://doi.org/10.1515/crll.1962.210.73
Y. Dong, H. Lin, and G. Yang, Liouville theorems for $F$-harmonic maps and their applications, Results. Math. 69 (2016), 105--127. https://doi.org/10.1007/s00025-015-0480-0
S. Dragomir and D. Perrone, Harmonic Vector Fields, Variational Principles and Differential Geometry, Elsevier 2012. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-415826-9.00002-X
J. Eells and L. Lemaire, Another report on harmonic maps, Bull. Lond. Math. Soc. 20 (1988), 385--524. https://doi.org/10.1112/blms/20.5.385
J. Eells and J.H. Sampson, Harmonic mappings of Riemannian manifolds, Amer. J. Math. 86 (1964), 109--160. https://doi.org/10.2307/2373037
R. Embarka and A.M. Cherif, Some results on stable $f$-harmonic maps, Commun. Korean Math. Soc. 33 (3) (2018), 935--942.
G. He, J. Li, and P. Zhao, Some results of $f$-biharmonic maps into a riemannian manifold of non-positive sectional curvature, Bull. Korean Math. Soc. 54 (2017), No. 6, 2091--2106.
J.J. Konderak, On harmonic vector fields, Publ. Mat. 36 (1992), 217--288. https://doi.org/10.5565/PUBLMAT_36192_17
F. Latti, M. Djaa, and A. Zagane, Mus-Sasaki metric and harmonicity, Math. Sci. Appl. E-Notes 6 (2018), No. 1, 29--36. https://doi.org/10.36753/mathenot.421753
J. Milnor, Curvature of left invariant metrics on Lie groups, Adv. Math. 21 (1976), 293--329. https://doi.org/10.1016/S0001-8708(76)80002-3
H. Nguyen, $f$-harmonic maps in Kähler geometry, PhD Thesis, Norman, Oklahoma, 2017.
S. Ouakkas, R. Nasri, and M. Djaa, On the $f$-harmonic and $f$-biharmonic maps, JP J Geom. Topol. 10 (2010), No. 10, 11--27.
S. Sasaki, On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds, Tohoku Math. J. 10 (1958), 338--354. https://doi.org/10.2748/tmj/1178244668
S.M.K. Torbaghan and M.M. Rezaii, $f$-harmonic maps from finsler manifold, Bull. Math. Anal. Appl. 9 (2017), No. 1, 19--30.
K. Yano and S. Ishihara, Tangent and Cotangent Bundles, M. Dekker, New York, 1973.
A. Zagane and M. Djaa, Geometry of Mus-Sasaki metric, Commun. Math. 26 (2018), 113--126. https://doi.org/10.2478/cm-2018-0008
Z.R. Zhou, Regularity of weakly subelliptic $f$-harmonic maps, J. Math. Res. 5 (2013), 26--39. https://doi.org/10.5539/jmr.v5n3p26
