Nonlinear Partial Differential Equations in Module of Copolynomials over a Commutative Ring
Анотація
Нехай $K$ - довільне комутативне цілісне кільце з одиницею характеристики 0. Досліджуються кополіноми $n$ змінних, тобто, $K\textrm{-}$лінійні відображення з кільця поліномів $K[x_1,\ldots,x_n]$ у $K$. Ми розглядаємо кополіноми як алгебраїчні аналоги розподілів. За допомогою перетворення Коші-Стілтьєса введено та досліджено множення кополіномів. Доведено теорему існування та єдиності розв'язку задачі Коші для деяких нелінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними в кільці формальних степеневих рядів з кополіноміальними коефіцієнтами. Встановлено зв'язок між деякими класичними нелінійними диференціальними рівняннями з частинними похідними та цілочисельними послідовностями. Зокрема, одержано зображення єдиного розв'язку задачі Коші для рівняння Бюргерса у вигляді ряду за степенями $\delta$-функції з цілими коефіцієнтами.
Mathematical Subject Classification 2020: 35R50, 13B25, 35G20, 11Y55
Ключові слова:
кополіном, $\delta$-функція, диференціальний оператор нескінченного порядку, задача Коші, перетворення Коші-Стілтьєса, множення кополіномівПосилання
P. Antosik, J. Mikusinski, and R. Sikorski, Theory of Distributions. The Sequential Approach, Elsevier Science Publ. Co., Amsterdam, PWN, Warsaw, 1973.
M. Bousquet-Mélou, É. Fusy, and L.-F. Préville-Ratelle, The number of intervals in the $m$-Tamari lattices, Electron. J. Combin., 18 (2011), No. 2, Paper No. 31. https://doi.org/10.37236/2027
F.Calogero and A.Degasperis, Spectral Transform and Solitons: Tolls to Solve and Investigate Nonlinear Evolution Equations, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1982.
L. Ciobanu and A. Kolpakov, Free subgroups of free products and combinatorial hypermaps, Discrete Math. 342 (2019), No. 5, 1415--1433. https://doi.org/10.1016/j.disc.2019.01.014
J.F. Colombeau, Multiplication of Distributions. A Tool in Mathematics, Numerical Engineering and Theoretical Physics, Springer-Verlag, Berlin, 1992. https://doi.org/10.1007/BFb0088954
Yu. V. Egorov, A contribution to the theory of generalized functions, Russian Math. Surveys 45 (1990), No. 5, 1--49. https://doi.org/10.1070/RM1990v045n05ABEH002683
R. Estrada and R.P. Kanwal, A Distributional Approach to Asymptotics. Theory and Applications, Birkhäuser Advanced Texts, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2002.
J.C. Garcia-Ardila, F. Marcellán, and M.E. Marriaga, Orthogonal Polynomials and Linear Functionals. An Algebraic Approach and Applications, EMS Series of Lectures in Mathematics, EMS Press, Berlin, 2001.
S.L. Gefter and A.L. Piven', Partial differential equations in module of copolynomials over a commutative ring, J. Math. Phys. Anal. Geom. 21 (2025), No. 1, 56--83. https://doi.org/10.15407/mag21.01.03
S.L. Gefter and A.L. Piven', Linear partial differential equations in module of formal generalized functions over commutative ring, J. Math. Sci. 257 (2021), No. 5, 579--596. https://doi.org/10.1007/s10958-021-05505-0
S.L. Gefter and A.L. Piven', Implicit linear differential-difference equations in the module of formal generalized functions over a commutative ring, J. Math. Sci., 255 (2021), No. 4, 409--422. https://doi.org/10.1007/s10958-021-05381-8
S.L. Gefter and A.L. Piven', Some class of nonlinear partial differential equations in the ring of copolynomials over a commutative ring, Front. Appl. Math. Stat. 10 (2024), Paper No. 1466569. https://doi.org/10.3389/fams.2024.1466569
S.L. Gefter and T.E. Stulova, Fundamental solution of the simplest implicit linear differential equation in a vector space, J. Math. Sci. 207 (2015), No. 2, 166--175. https://doi.org/10.1007/s10958-015-2363-z
I.M. Gel'fand and L.A. Dikii, Asymptotic behaviour of the resolvent of Sturm-Liouville equations and the algebra of the Korteweg-de Vries equations, Russian Math. Surveys 30 (1975), No. 5, 77--113. https://doi.org/10.1070/RM1975v030n05ABEH001522
H.W. Gould, Some generalizations of Vandermonde's convolution, Amer. Math. Monthly, 63 (1956) No. 2, 84--91. https://doi.org/10.1080/00029890.1956.11988763
S.L. Hefter and O.L. Piven', Infinite-order differential operators in the module of formal generalized functions and in a ring of formal power series, Ukr. Math. J., 74 (2022), No. 6, 896--915. https://doi.org/10.1007/s11253-022-02116-z
L.G. Hernández and R. Estrada, Solutions of ordinary differential equations by series of delta functions, J. Math. Anal. Appl. 191 (1995), No. 1, 40--55. https://doi.org/10.1016/S0022-247X(85)71119-5
L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Equations, 1, Distribution Theory and Fourier Analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1983.
A.M. Krall, R.P. Kanwal, and L.L. Littlejohn, Distributional solutions of ordinary differential equations. CMS Conf. Proc., 8. Published by the American Mathematical Society, Providence, RI, 1987, 227--246.
R. Lidl and H. Niederreiter, Finite Fields, Cambridge University Press, Cambridge, 1996. https://doi.org/10.1017/CBO9780511525926
G. Lysik, Borel summable solutions of the Burgers equation, Ann. Polon. Math. 95 (2009), 187--197. https://doi.org/10.4064/ap95-2-9
Yu.I. Manin, Algebraic aspects of nonlinear differential equations, J. Soviet Math. 11 (1979), No. 1, 1--122. https://doi.org/10.1007/BF01084246
P. Maroni, Sur quelques espaces de distributions qui sont des formes linéaires sur léspace vectoriel des polynômes, Lecture Notes in Math., 1171, Springer-Verlag, Berlin, 1985, 184--194. https://doi.org/10.1007/BFb0076543
P. Maroni, Une théorie algébrique des polynômes orthogonaux. Application aux polynômes orthogonaux semi-classiques, Orthogonal Polynomials and their applications, MACS, Ann. Comput. Appl. Math., 9, Baltzer, Basel, 1991, 95--130.
R.J. Martin and M.J. Kearney, An exactly solvable self-convolutive recurrence, Aequat. Math. 80 (2010), 291--318. https://doi.org/10.1007/s00010-010-0051-0
M. Morimoto, An Introductions to Sato's Hyperfunctions, Amer. Math. Soc. Providence, RI, 1993.
M. Ortner and P. Wagner, Fundamental solutions of linear partial differential operators. Theory and Practice, Springer International Publishing Switzerland, Cham, Switzerland, 2015. https://doi.org/10.1007/978-3-319-20140-5
A.D. Polyanin and V.F. Zaitsev, Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, Second Edition, Taylor & Francis Group, CRC Press, Boca Raton, FL, 2012.
N.J. A. Sloane, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, https://oeis.org/
R.D.P. Zhou and S.H.F. Yan, The Raney numbers and $(s, s + 1)$-core partitions, European J. Combin. 59 (2017), 114--121. https://doi.org/10.1016/j.ejc.2016.08.003
