Some Applications of Meijer G-Functions as Solutions of Differential Equations in Physical Models

Анотація

Мета цієї статті – показати, що $G$-функції Мейєра можна використовувати для знаходження в явному вигляді розв’язків рівнянь з частинними похідними (РЧП), пов’язаних з деякими математичними моделями фізичних явищ, такими як, наприклад, рівняння Лапласа, рівняння дифузії й рівняння Шредінгера. Як правило, першим кроком у розв’язанні таких рівнянь є використання методу розділення змінних для того, щоб звести їх до звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР). Дуже часто це рівняння є випадком лінійного звичайного диференціального рівняння, яке задовольняє $G$-функція, і тому, правильно обравши її порядки $m$; $n$; $p$; $q$ і параметри, ми можемо знайти розв’язок ЗДР в явному вигляді. Ми ілюструємо цей підхід, пропонуючи такі розвязки як потенційна функція $\Phi$, температурна функція $T$ і хвильова функція $\Psi$, усі з яких мають вигляд симетричних добутків $G$-функцій Мейєра. Показано, що одна з трьох базових еквівалентних $G$-функцій Мейєра, а саме $G^{1,0}_{0,2}$, зустрічається в усіх згаданих розв’язках.

Mathematics Subject Classification: 35Q40, 35Q79, 33C60, 30C55.